Metoda inducţiei matematice: Exemple de rezolvare (3) Demonstrarea egalităţii…

Metoda inducţiei matematice

Atunci când se dă o propoziţie P(n) şi se cere să se demonstreze că este adevărată pentru orice număr natural n, demonstraţia necesită parcurgerea paşilor astfel:
1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată
2. Etapa de demonstrare: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată şi se demonstrează justeţea afirmaţiei P(n+1).

Exemple de rezolvare prin metoda inducţiei matematice (3)

Demonstrarea egalităţii …

Exemplul 1

Sa se demonstreze egalitatea: 1 + 2 + 3 + … + n = [n(n+1)]/2, unde n∈N.

Pasul 1

Verificăm dacă P(1) este adevărată:

P(1): 1 = [1(1+1)]/2 <=> 1 = 1 (A) => P(1) (A)

Pasul 2

Presupunem că P(n) este adevărată.

P(n) (A) => 1+2+3+…+n = [n(n+1)]/2

* Expresia cu roşu o vom înlocui în pasul următor.

Pasul 3

Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.

P(n+1): 1+2+3+…+n + (n+1) = [(n+1)(n+1+1)]/2 <=> [n(n+1)]/2 + (n+1) = [(n+1)(n+2)]/2 <=> [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = [(n+1)(n+2)]/2 <=> [(n+1)(n+2)]/2 = [(n+1)(n+2)]/2 => P(n+1) (A)

* Aţi observat că pe parcurs am înlocuit expresia de la pasul 2, am adus la acelaşi numitor, apoi am dat factor comun.

Exemple inducţia matematică

Exemplul 2

Sa se demonstreze egalitatea: 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2, unde n∈N.

Pasul 1

Verificăm dacă P(1) este adevărată:

P(1): (2·1-1) = 12 <=> 1 = 1 (A) => P(1) (A)

Pasul 2

Presupunem că P(n) este adevărată.

P(n) (A) => 1+3+5+…+(2n-1) = n2

* Expresia cu roşu o vom înlocui în pasul următor.

Pasul 3

Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.

P(n+1): 1+2+3+…+(2n-1) + [2(n+1)-1] = (n+1)2 <=> n2 + [2(n+1)-1] = (n+1)2 <=> n2 + (2n+1) = (n+1)2 <=> n2 + 2n + 1 = (n+1)2 <=> (n+1)2(n+1)2 => P(n+1) (A)

Exemplul 3

Sa se demonstreze egalitatea: 12 + 22 + 32 + … + n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, unde n∈N.

Pasul 1

Verificăm dacă P(1) este adevărată:

P(1): 12 = [1(1+1)(2·1+1)]/6 <=> 1 = (1·2·3)/6 <=> 1 = 1 (A) => P(1) (A)

Pasul 2

Presupunem că P(n) este adevărată.

P(n) (A) => 12+22+32+…+n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6

* Expresia cu roşu o vom înlocui în pasul următor.

Pasul 3

Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.

P(n+1): 12+22+32+…+n2 + (n+1)2 = {(n+1)[(n+1)+1)][2(n+1)+1]}/6 <=> [n(n+1)(2n+1)]/6 + (n+1)2 = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 <=> [n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)2]/6 = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 <=> [(n+1)/6]·[n(2n+1) + 6(n+1)] = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 <=> [(n+1)/6]·(2n2+n+6n+6) = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 <=> [(n+1)/6]·(2n2+7n+6) = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 <=> [(n+1)/6]·(n+2)(2n+3) = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 <=> [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 = [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 => P(n+1) (A)

* Aţi observat că pe parcurs am înlocuit expresia de la pasul 2, am adus la acelaşi numitor, apoi am dat factor comun. La final am constatat că 2n2+7n+6 = (n+2)(2n+3).

Metoda inducţiei matematice: Exemple de rezolvare (3) Demonstrarea egalităţii… publicat: 2016-12-12T19:47:31+00:00, actualizat: 2017-01-02T20:33:07+00:00 by Colegiu.info