Măsura arcelor şi unghiurilor în grade şi radiani, Cercul trigonometric, Funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus

Măsura arcelor şi unghiurilor în grade şi radiani

Măsura în grade a unui arc de cerc este, prin definiţie, egală cu măsura unghiului la centru corespunzător.

Un arc de un radian într-un cerc de rază r este un arc de lungime egală cu raza r.

Fie AB un arc al unui cerc de rază r şi l(AB) lungimea sa. Spunem că arcul AB are măsura egală cu α radiani şi scriem µ(AB) = α rad, dacă l(AB)/r = α.

Spunem că un unghi ∠AOB are măsura egală cu α radiani şi notăm μ(∠AOB) = α rad, dacă arcul de cerc corespunzător unghiului la centru ∠AOB are măsura α radiani.

Cercul trigonometric

Formula distanţei dintre două puncte

Fie punctele A(xA, yA) şi B(xB, yB). Distanţa AB este
AB = √(xA – xB)2 + (yA – yB)2.

Definiţia cercului trigonometric

Fie xOy un sistem de coordonate în plan. Se numeşte cerc trigonometric cercul de rază l cu centrul în originea O, pe care am definit sensul pozitiv ca fiind sensul contrar acelor de ceasornic.

Observaţie

Fie un număr real t ∈ (0; π/2). Putem defini:
cos t = cosinusul unui unghi ascutit de măsură t
sin t = sinusul unui unghi ascuţit de măsură t.

Propoziţie

Pentru orice număr real t există un unic număr întreg k şi un unic număr α ∈ [0, 2π) astfel încât
t = α + 2kπ.

Funcţia de acoperire universală a cercului

Funcţia F : R → C, definită prin F(t) = Pt, se numeşte funcţia de acoperire universală a cercului C.

Cerc-trigonometric-Cosinus-Sinus

Funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus

Fie un număr real t şi punctul asociat Pt ∈ C.
Abscisa punctului Pt se numeşte cosinusul numărului real t şi se noteaza cos t.
Ordonata punctului Pse numeşte sinusul numărului real t şi se notează sin t.

Asociind oricărui număr real t numărul cos t, obţinem o funcţie numită funcţia cosinus, notată cos. Deci
cos : R → R, t → cos t.

Asociind oricărui număr real t numărul sin t, obţinem o funcţie numită funcţia sinus, notată sin. Deci
sin : R → R, t → sin t.

Proprietăţi şi formule trigonometrice în care intervin funcţiile cosinus şi sinus

-1 ≤ cos t ≤ 1, -1 ≤ sin t ≤ 1, ∀ t ∈ R

cos2t + sin2t = 1, ∀ t ∈ R

cos(t + 2kπ) = cos t, sin(t + 2kπ) = sin t, ∀ t ∈ R, ∀ k ∈ Z

Funcţiile cosinus şi sinus sunt periodice şi au perioada principală 2π.

cos(-t) = cos t, sin(-t) = -sin t, ∀ t ∈ R

Funcţia cosinus este pară, iar funcţia sinus este impară.


Măsura arcelor şi unghiurilor în grade şi radiani, Cercul trigonometric, Funcţiile trigonometrice cosinus şi sinus publicat: 2017-03-31T16:48:33+00:00, actualizat: 2017-03-31T16:48:33+00:00 by Colegiu.info