I. Despre fracţiile zecimale periodice
1. Ce este o fracţie zecimală periodică
O fracţie zecimală infinită a0,a1a2a3… se numeşte periodică, dacă există numerele naturale k şi p astfel încât an+p = an, pentru orice n ≥ k.
a) Dacă k = 1 (adică perioada începe imediat după virgulă) => fracţie zecimală periodică simplă;
b) Dacă k > 1 => fracţie zecimală periodică mixtă.
2. Exemple de fracţii periodice simple şi mixte
a) pentru 0,333… avem k = 1, p = 1, an+1 = an = 3, pentru orice n≥1.
0,333… = 0,(3) = fracţie zecimală periodică simplă;
b) 4,3636… = 4,(36) = fracţie zecimală periodica simplă (k=1, p = 2);
c) 15,723434… = 15,72(34) = fracţie zecimală periodica mixtă (k = 3, p = 2).
II. Fracţii zecimale finite
1. Fracţiile zecimale finite pot fi considerate infinite?
Fracţiile zecimale finite, prin adăugare de zerouri pot fi considerate fracţii zecimale infinite periodice.
0,12 = 0,12000…
2. Exemple de fracţii zecimale finite considerate infinite periodice
a) pentru 0,25000… avem k = 3, p = 1, an+1 = an = 0, pentru orice n≥3.
0,25000… = 0,25(0).
b) pentru 0,625000… avem k = 4, p = 1, an+1 = an = 0, pentru orice n≥4.
0,625000… = 0,625(0).
Fracţiile zecimale finite, adică de perioadă (0), se obţin atunci când prin algoritmul de împărţire se obţine la un moment dat un rest egal cu zero.
După aceasta toate resturile vor fi egale cu zero.
III. Fracţii zecimale periodice
1. Număr raţional => fracţie zecimală periodică
Orice număr raţional se reprezintă sub formă de fracţie zecimală periodică, care nu are perioada (9).
Exemple:
a) 5/33 = 0,(15);
b) 19/55 = 0,3(45).
2. Fracţie zecimală periodică => număr raţional
Orice fracţie zecimală periodică, care are perioada diferită de (9), reprezintă un anumit număr raţional, din care se obţine prin algoritmul de împărţire.
Exemple:
a) 0,(15) = 5/33;
b) 0,3(45) = 19/55.
IV. Transformarea fracţiei zecimale periodice simple
a) la numărător:
– se copiază toate cifrele fără virgulă;
– se scad cifrele dinaintea perioadei;
b) la numitor:
– se adaugă atâţia de 9 câte cifre sunt în perioadă.
Exemple de transformări fracţii zecimale periodice simple
a) 0,(3) = 3/9 = 1/3;
b) 2,(4) = (24-2)/9 = 22/9;
c) 0,(45) = 45/99 = 5/11;
d) 4,(16) = (416-4)/99 = 412/99.
Transformarea fracţiilor zecimale periodice simple şi mixte
V. Transformarea fracţiei zecimale periodice mixte
a) la numărător:
– se copiază toate cifrele fără virgulă;
– se scad cifrele dinaintea perioadei;
b) la numitor:
– se adaugă atâţia de 9 câte cifre sunt în perioadă;
– se adaugă atâţia de 0 câte cifre sunt între virgulă şi perioadă.
Exemple de transformări fracţii zecimale periodice mixte
a) 0,45(3) = (453-45)/900 = 408/900 = 34/75;
b) 1,2(3) = (123-12)/90 = 111/90;
c) 0,027(45) = (2745 – 27)/99000 = 2718/99000 = 151/5500;
d) 2,58(936) = (258936 – 258)/99900 = 258678/99900;
e) 2,073(83) = (207383 – 2073)/99000 = 205310/9900.