Metoda inducţiei matematice: Exemple de rezolvare (2) Demonstrarea că un număr este divizibil cu…

Metoda inducţiei matematice

Atunci când se dă o propoziţie P(n) şi se cere să se demonstreze că este adevărată pentru orice număr natural n, demonstraţia necesită parcurgerea paşilor astfel:
1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată
2. Etapa de demonstrare: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată şi se demonstrează justeţea afirmaţiei P(n+1).

Exemple de rezolvare prin metoda inducţiei matematice (2)

Demonstrarea că un număr … este divizibil cu …

Exemplul 1

Sa se demonstreze că pentru orice n∈N, n(2n23n + 1) se divide cu 6.

Fie P(n) = n(2n23n + 1), n∈N.

Pasul 1

Verificăm dacă P(1) este adevărată:

P(1) = 1(2·12 – 3·1 + 1) = 2 – 3 + 1 = 0 ⋮ 6 (A) => P(1) ⋮ 6 (A)

Pasul 2

Presupunem că P(n) este divizibil cu 6.

P(n) ⋮ 6 (A) => n(2n23n + 1) = n(n-1)(2n-1) ⋮ 6

* Observaţi forma simplificată la care am adus P(n), expresia obţinută fiind folosită la pasul următor.

Pasul 3

Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.

* Observaţi că pe parcurs vom efectua câteva artificii: pe (+1) îl vom scrie ca (-1+2), apoi vom da factor comun pe (2n).

P(n+1) = (n+1)(n+1-1)[2(n+1)-1] = (n+1)·n·(2n+1) = n(n+1)(2n+1) = n(n-1+2)(2n-1+2) = [n(n-1) + 2n](2n-1+2) = n(n-1)(2n-1) + 2n(n-1) + 2n(2n-1) + 2n·2 = n(n-1)(2n-1) + 2n(n-1+2n-1+2) = n(n-1)(2n-1) + 2n·3n = n(n-1)(2n-1) + 6·n2 ⋮ 6 => P(n+1) ⋮ 6 (A)

* Observaţi că P(n+1) ⋮ 6 deoarece n(n-1)(2n-1) ⋮ 6 conform pasului 2, iar 6·n2 ⋮ 6.

Exemple Inducţia matematică

Exemplul 2

Sa se demonstreze că pentru orice n∈N, 62n-2 + 3n+1 + 3n-1 se divide cu 11.

Fie P(n) = 62n-2 + 3n+1 + 3n-1, n∈N.

Pasul 1

Verificăm dacă P(1) este adevărată:

P(1) = 60 + 32 + 30 = 1 + 9 + 1 = 11 ⋮ 11 (A) => P(1) ⋮ 11 (A)

Pasul 2

Presupunem că P(n) este divizibil cu 11.

P(n) ⋮ 11 (A) => 62n-2 + 3n+1 + 3n-1 ⋮ 11

Pasul 3

Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.

* Observaţi că pe parcurs vom efectua câteva artificii: puterea (2n) o vom scrie ca (2n-2+2), puterea (n+2) o vom scrie ca (n+1+1), puterea (n) o vom scrie ca (n-1+1), iar pentru a ne apropia de forma de la pasul 2 coeficientul (62) îl vom scrie ca (33+3).

P(n+1) = 62(n+1)-2 + 3(n+1)+1 + 3(n+1)-1 = 62n + 3n+2 + 3n = 62n-2+2 + 3n+1+1 + 3n-1+1 = 62·62n-2 + 3·3n+1 + 3·3n-1 = 36·62n-2 + 3·3n+1 + 3·3n-1 = (33+3)·62n-2 + 3·3n+1 + 3·3n-1 = 33·62n-2 + 3·62n-2 + 3·3n+1 + 3·3n-1 = 3·(62n-2 + 3n+1 + 3n-1) + 33·62n-2 ⋮ 11 => P(n+1) ⋮ 11 (A)

* Observaţi că P(n+1) ⋮ 11 deoarece 62n-2 + 3n+1 + 3n-1 ⋮ 11 conform pasului 2, iar 33·62n-2 ⋮ 11.

Notă

În unele cazuri metoda inducţiei matematice se utilizează în următoarea formă:

Fie m un număr natural, m>1 şi P(n) o propoziţie ce depinde de n, n≥m.

Dacă
1. P(m) este adevărată
2. P(n) fiind o propoziţie justă implică P(n+1) adevărată pentru n≥m,
atunci P(n) este o propoziţie adevărată pentru orice număr natural n≥m.


Metoda inducţiei matematice: Exemple de rezolvare (2) Demonstrarea că un număr este divizibil cu… publicat: 2017-11-10T09:48:43+00:00, actualizat: 2017-11-10T10:06:19+00:00 by Colegiu.info