Metoda inducţiei matematice
Atunci când se dă o propoziţie P(n) şi se cere să se demonstreze că este adevărată pentru orice număr natural n, demonstraţia necesită parcurgerea paşilor astfel:
1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată
2. Etapa de demonstrare: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată şi se demonstrează justeţea afirmaţiei P(n+1).
Exemple de rezolvare prin metoda inducţiei matematice (1)
Demonstrarea că un număr … este divizibil cu …
Exemplul 1
Sa se demonstreze că numărul 7n – 1 este divizibil cu 6, pentru orice n∈N.
Fie P(n) = 7n – 1, n∈N.
Pasul 1
Verificăm dacă P(1) este adevărată:
P(1) = 71 – 1 = 7 – 1 = 6 ⋮ 6 (A) => P(1) ⋮ 6 (A)
Pasul 2
Presupunem că P(n) este divizibil cu 6.
P(n) ⋮ 6 (A) => 7n – 1 = 6·a => 7n = 6a + 1
* Observaţi că am scos 7n separat, expresia obţinută fiind folosită la pasul următor.
Pasul 3
Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.
P(n+1) = 7(n+1) – 1 = 7n·7 – 1 = 7·(6a+1) – 1 = 7·6a + 7 – 1 = 7·6a + 6 = 6·(7a + 1) ⋮ 6 => P(n+1) ⋮ 6 (A).
* Observaţi că pe parcurs am înlocuit 7n cu expresia obţinută la pasul 2.
Exemplul 2
Să se demonstreze ca numărul 72n – 1 este divizibil cu 48, pentru orice n∈N.
Fie P(n) = 72n – 1, n∈N.
Pasul 1
Verificăm dacă P(1) este adevărată:
P(1) = 72 – 1 = 49 – 1 = 48 ⋮ 48 (A) => P(1) ⋮ 48 (A)
Pasul 2
Presupunem că P(n) este divizibil cu 48.
P(n) ⋮ 48 (A) => 72n – 1 = 48·a => 72n = 48a + 1
* Observaţi că am scos 72n separat, expresia obţinută fiind folosită la pasul următor.
Pasul 3
Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.
P(n+1) = 72(n+1) – 1 = 72n+2 – 1 = 72n·72 – 1 = 72·(48a+1) – 1 = 49·48a + 49 – 1 = 49·48a + 48 = 48·(49a +1) ⋮ 48 => P(n+1) ⋮ 48 (A)
* Observaţi că pe parcurs am înlocuit 72n cu expresia obţinută la pasul 2.
Exemplul 3
Să se demonstreze ca numărul 62n-1 + 1 este divizibil cu 7, pentru orice n∈N.
Fie P(n) = 62n-1 + 1, n∈N.
Pasul 1
Verificăm dacă P(1) este adevărată:
P(1) = 61 + 1 = 6 + 1 = 7 ⋮ 7 (A) => P(1) ⋮ 7 (A)
Pasul 2
Presupunem că P(n) este divizibil cu 7.
P(n) ⋮ 7 (A) => 62n-1 + 1 = 7·a => 62n-1 = 7a – 1
* Observaţi că am scos 62n-1 separat, expresia obţinută fiind folosită la pasul următor.
Pasul 3
Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.
P(n+1) = 62(n+1)-1 + 1 = 62n+2-1 + 1 = 62n-1+2 + 1 = 62n-1·62 + 1 = 62·(7a-1) + 1 = 36·7a – 36 + 1 = 36·7a – 35 = 36·7a – 5·7 = 7·(36a – 5) ⋮ 7 => P(n+1) ⋮ 7 (A)
* Observaţi că pe parcurs am înlocuit 62n-1 cu expresia obţinută la pasul 2, după ce am rearanjat ordinea puterii 62n+2-1 >> 62n-1+2 >> 62n-1·62
Exemplul 4
Sa se demonstreze că numărul 10n + 18n – 28 este divizibil cu 27, pentru orice n număr natural, n≥0.
Fie P(n) = 10n + 18n – 28, n≥0.
Pasul 1
Verificăm dacă P(1) este adevărată:
P(1) = 101 + 18·1 – 28 = 0 ⋮ 27 (A) => P(1) ⋮ 27 (A)
Pasul 2
Presupunem că P(n) este divizibil cu 27.
P(n) ⋮ 27 (A) => 10n + 18n – 28 = 27·a => 10n = 27a – 18n + 28
* Observaţi că am scos 10n separat, expresia obţinută fiind folosită la pasul următor.
Pasul 3
Demonstrăm că dacă P(n) este adevărată, atunci P(n+1) este adevărată.
P(n+1) = 10n+1 + 18(n+1) – 28 = 10n·10 + 18n + 18 – 28 = 10·(27a-18n+28) + 18n – 10 = 270a – 180n + 280 + 18n – 10 = 270a – 162n + 270 = 27·(10a – 6n + 10) ⋮ 27 => P(n+1) ⋮ 27 (A)
* Observaţi că pe parcurs am înlocuit 10n cu expresia obţinută la pasul 2.